以下の投稿を目にしたのを契機に「はじめアルゴリズム」を読み返しました。プラトンの立体=正四面体(Regular Tetrahedron)、正六面体(Cube)、正八面体(Regular Octahedron)、正十二面体(Regular Dodecahedron)、正二十面体(Regular Icosahedron)の五つ。それぞれに固有の呼称が存在してる辺りに古代ギリシャ文明から欧米文明への継承性の強さを感じます。
以下エロ注意…
という事で「はじめアルゴリズム」…
ここで主人公はじめは二次元の多角形についてV(Vertex=頂点)-E(Edge=辺)+(Face=面)=1、三次元の正多面体についてV-E+F=2と考えますが、二次元についててもV-E+F=2と考える事も可能。この時二次元図形は厚みが0でコインの様に表裏の2面しかない、いわゆる二面体(Dihedral)に拡張され、さらに１次元における開数直線(-∞~+∞)も符号±を面積0の面と考えて同じグループとして扱われる展開を迎えます。
ここに登場する「最初から実存している2」をとりあえず対蹠概念とでも呼ぶ事にしましょう。上掲のオイラーの多面体定理の証明にも出てくる考え方です。
この「最初から実存している2」については、以下の投稿でも触れています。
最終的に到達したのは「人類は直径が半径の二倍であり、また半径が直径の半分である事については、歴史の最初から先験的直感から自明の場合と考え疑った事がない」という考え方でした。ある意味、上掲の数理展開はすべからく、かかる「直線上の推移と回転運動を可換と考える」基本的信念から自明の場合として導出される拡張概念に過ぎないという訳です。
さらにこの考え方を発展させた１極球面体(monopolar sphere)概念においては、こうした常識はもう通用しません。
そもそも１極球面体(monopolar sphere)概念においては直径の概念自体が原則として存在せず、観測原点と任意の観測線二本が一直線に並んでいる(群成立条件を満たす=すなわち全体が一つの連続演算として規定可能であり、かつ中心0を単位元として二つの観測線が逆数関係にある事が証明される)場合のみそれについて考えられるのです。
そんな感じで以下続報…
